Un rectangle a un périmètre constant égal à 40 cm. On note x sa longueur et h sa largeur, en
cm. On cherche ses dimensions pour que son aire soit maximale.
1) En s'aidant du périmètre, déterminer sa largeur h en fonction de x.
2) En déduire l'expression de l'aire du rectangle en fonction de x.
3) Quelles sont les valeurs que peut prendre x ? Donner un encadrement de x.

On considère la fonction f définie sur [0:20] par f (x) = 20x-x².

4) Remplir un tableau de valeurs de f(x) pour x entier variant de 0 à 20.
5) Tracer la courbe représentative de f dans un repère (unité 1 cm ou 1 carreau pour 2 unités
en abscisse et 1 cm ou 1 carreau pour 10 unités en ordonnée).
6) Dresser le tableau des variations de fà partir de sa courbe représentative.
7) Déterminer le maximum de f à partir de sa courbe représentative: préciser pour quelle
valeur de x il est atteint.
8) Démontrer que pour tout x de [0:20], f (x) = 100 - (x-10)².
9) À l'aide de l'expression de f de la question précédente, démontrer (en utilisant la
définition du maximum) que 100 est le maximum de f.
10) En reprenant la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint, quelle est la forme du
rectangle obtenu lorsque l'aire est maximale?