Les noyaux radioactifs se désintègrent au cours du
temps.
Si l'on regarde un échantillon de N0 noyaux radioactifs au temps t=0, alors le nombre N(t) de noyaux radioactifs à l'instant t vérifie l'équation N'(t)+N(t)=0 où N(0)=N0, et λ est un réel
strictement positif appelé constante radioactive qui
dépend de l'élément radioactif considéré.
1. Montrer que la fonction N(t)=N0.exp(-t/λ) vérifie
les conditions données.
2. Démontrer que la fonction N est décroissante sur R+.
Quelle interprétation concrète peut-on faire?
Est-ce surprenant?
3. On notera In(2) l'unique solution de l'équation
ex=2. Montrer que le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié par rapport au temps initial lorsque t= λIn(2).
On appelle ce réel le « temps de demi-vie » de l'élément radioactif.
4. Déterminer les coordonnées du point d'intersection
de l'axe des abscisses et de la tangente à la courbe de
N en t=0. L'abscisse de ce point est appelée « durée
de vie moyenne » de l'échantillon.