Devoir Maison : Espérances de variables aléatoires et Loi Binomiale
Les résultats seront arrondis au millième
Une agence de voyages propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue
un aller et un retour en utilisant le moyen de transport de son choix entre un trajet en bateau et
un trajet en train touristique. Le choix du moyen de transport peut varier entre l'aller et le retour.
A l'aller, le bateau est choisi dans 65% des cas. Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est
pour
le
retour
dans
9
cas
sur
également
Lorsque le train est choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour par 70% des clients.
30
On interroge au hasard un client, et on considère les événements suivants :
A: Le client a choisi l'aller en bateau -
R: Le client a choisi le retour en bateau-
10.
357
On rappelle que si E est un événement, P(E) désigne la probabilité de E et on note E l'événement
contraire de E.
1. Traduire cette expérience aléatoire par un arbre de probabilité qu'on complètera avec des
probabilités écrites en écriture décimales.
2. On choisit au hasard un client de l'agence:
a. Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.
b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transports est
égale à 0,31.
3. Le coût d'un trajet en bateau est de 1560€, le coût de celui en train touristique est 1200€.
On note X la variable aléatoire qui totalise le prix d'un aller-retour choisi par un client au
hasard.
a. Quelles sont les valeurs prises par X? Détailler la réponse.
b. Dresser la loi de probabilité de X.
c. Calculer et interpréter l'espérance de X, notée E(X).
moyens
4. On choisit au hasard 1 client de l'agence, et on pose la question suivante: «Avez-vous
choisi les deux
de transports pour votre
Montrer que cette expérience constitue un schéma de Bernoulli, dont on détaillera la
voyage?»
probabilité de succès et d'échec.
Une épreuve
5. On choisit au hasard 20 clients de l'agence, et on note Y la variable aléatoire qui compte
le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transports pour leur aller-retour.
(L'ordre ne compte pas)
a. Montrer que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres
b. Calculer la probabilité qu'exactement 10 clients choisissent les deux moyens de
transports.
c. Calculer la probabilité qu'au moins 2 clients choisissent des modes de transports
différents.
d. Calculer et interpréter l'espérance de Y.
e. Calculer alors la somme que vont dépenser, en moyenne, chacun des 20 clients
de l'agence.
6. On réalise une nouvelle étude portant sur 20 nouveaux clients au hasard, l'agence
souhaiterait étudier l'impact du prix de chaque trajet sur les choix. Pour ces 20 nouveaux
clients, le trajet en bateau coûte 1700€ et celui en train 1200€.
On pose une nouvelle variable aléatoire Z qui suit une loi binomiale de paramètres 20 et
0,28.
En calculant le prix d'un aller-retour utilisant les deux moyens de transports, calculer, en
moyenne, l'argent dépensé par chacun des 20 clients de l'agence.