Bonjour, je suis en classe de première, j’ai un devoir maison à rendre sur cet exercice. Est-ce que vous pouvez m’aider s’il vous plaît :)

Exercice

Les tours de Hanaï
On dispose d'un socle sur lequel sont plantées trois tiges verticales.
On empile plusieurs disques troués sur la première tige, le plus large
reposant sur la base et les autres, de plus en plus étroits, superposés
jusqu'au sommet.
Le jeu consiste à déplacer tous les disques d'une tige sur une autre
tige en respectant les règles suivantes :
• On ne déplace qu'un disque la fois ;
Y
• On ne dépose jamais un disque sur un disque plus petit.
T3
T₂
T₁
Pour tout entier naturel non nul n, on note u, le nombre minimum de déplacements nécessaires pour transporter
une tour de n étages d'une tige à une autre.
1. Déterminer u1 puis u₂.
2.
Montrer que u3 = 7.
3.
La suite (un) est-elle arithmétique? Est-elle géométrique? Justifier votre réponse.

4. Démontrer que pour tout entier naturel non nul n:
Un+1=2 Un+1.
(On remarquera que pour pouvoir
déplacer le disque le plus large, il faut
avoir reconstitué une tour avec les autres
disques sur une des tiges.)

5.
Posons, pour tout entier n ≥ 1, Vn= Un+1.

a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, Vn+1 = 2vn
b) En déduire la nature de la suite (vn). Préciser la raison et le terme initial.
c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

6. On suppose qu'il faut une seconde pour déplacer un disque. Combien de temps le jeu dure-t-il avec une
tour de 10 disques? et avec une tour de 64 disques?