Partie A: On considère la fonction définie sur R par f(x) = 4x³-260 x²+4000 a.
1. (a) Déterminer l'expression de la dérivée f' de f.
(b) Etudier le signe de f'(x) sur R.
(c) Dresser le tableau de variations de f.
2. On appelle Cy la courbe représentative de f dans un repère orthogonal.
(a) Soit A le point de C, d'abscisse 20. Déterminer une équation de la tangente T à C, au point A.
(b) Construire les tangentes remarquables (parallèles à l'axe des abscisses) ainsi que la tangente T puis
l'allure de la courbe Cy.
On prendra 1 cm pour 10 unités sur (Ox) et 1 cm pour 10 000 unités sur (Oy).
Partie B: On dispose d'une feuille de carton rectangulaire de 80 cm de long et 50 cm de large, grâce à laquelle
on veut fabriquer une boîte ayant la forme d'un pavé droit. Pour cela, on découpe dans la feuille quatre carrés
égaux, aux quatre coins puis on plie le carton suivant les segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. On obtient en fait
une boîte sans couvercle. On note a la mesure en cm du côté de chaque carré découpé.
1. On prend tout d'abord et dans cette seule ques-
tion a 4 cm. Calculer les dimensions de la boîte,
puis en déduire son volume.
2. Préciser dans quel intervalle I peut varier a pour
que la boîte soit réalisable.
3. (a) Exprimer les dimensions de la boîte en fonc-
tion de x.
(b) Montrer que l'expression du volume de la
boite en cm³ est donné par f(x).
4. Donner la valeur de z rendant le volume de la
boîte maximum. Combien vaut ce volume?
80
50
A
D
B
