Sujet 2 :
Une entreprise décide de fabriquer et de commercialiser un produit de luxe.
Sur une période donnée, sa capacité minimale de production est de 1 tonne et sa capacité maximale
de production est de 20 tonnes.
Le coût, en milliers d'euros, d'une production de x tonnes est donné par C(x)=x³-3x² + 300x.
1) Etudier les variations de la fonction C sur l'intervalle [1; 20].
2) En économie, on appelle coût moyen (noté CM) le coût de fabrication d'une tonne de produit
lorsque x tonnes sont produites. On a donc CM(x) = C(x)
a- Donner une écriture simplifiée de Cм(x).
b- Etudier les variations de la fonction CM sur l'intervalle [1; 20].
c- En déduire le coût moyen minimal et la production correspondante.
3) Après une étude de marché, l'entreprise décide de vendre son produit 90 750 euros la tonne.
a- Exprimer en fonction de x le bénéfice B(x) réalisé par l'entreprise.
b- Quelle doit être la production x de l'entreprise pour qu'elle réalise un bénéfice maximal?