Exercice 1: (12 points)
On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0; +co[ par:
In (x)
f(x)=1+
x
1) a) Déterminer la limite de la fonction f en 0.
b) Déterminer la limite de la fonction f en +∞o.
2) On note f' la fonction dérivée de f.
Démontrer que, pour tout nombre réel x de ]0; +co[, on a :
f'(x)=
1-In (x)
3) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0; +co[.
4) Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution a dans ]0; +co[.
Justifier que l'on a : 0,5 < a < 0,6
5) Soit F la fonction définie sur 10; +co[ par :
2x + In (x)²
F(x) =
2
Montrer que F'(x) = f(x) pour tout nombre réel x de ]0; +00[.
Que peut-on en déduire ?

Pouvez vous m’aider svp !!