Bonjour j’ai un Devoir maison en math expert j’aurai besoin d’aide svp
Partie A: Racine carrée d'un nombre complexe :
Soient a et b deux réels. On pose u = a + ib. On cherche à résoudre dans C l'équation:
(E₁): z²=u.
Les solutions de l'équation (EA) sont appelées racines carrées du nombre complexe u.
1. Combien de solution au maximum possède l'équation (EA)?
2. Montrer que si ZEC est une solution de (EA) alors - z est aussi une solution de (EA).
3. a) Montrer que z = x + iy (avec x et y deux réels) est solution de (EA) si, et seulement si :
x²-y²=a
2xy=b
x²+ y²=√√a²+b²
b) Montrer que z = x + iy (avec x et y deux réels) est solution de (EA) si, et seulement si :
X=
2
2
a+va²+b²
2
2
√a²+b²-a
y=.
2
2xy=b
4. On distingue maintenant deux cas selon le signe de b.
Soit z = x + iy (avec x et y deux réels) une solution de (EA).
a) Que pouvez dire des signes des réels x et y lorsque b>0?
Montrer que si b > 0 alors
a+va²+b²
2
2
Va²+b²-c
+i
est une solution de (EA).
2
2
Dans ce cas, déterminer une deuxième solution de (EA).
b) Que pouvez dire des signes des réels x et y lorsque b<0?
que
Montrer si b < 0 alors
a+va²+b²
2
2
2
√a²+b²-
-a
est une solution de (EA).
2
Dans ce cas, déterminer une deuxième solution de (EA).
5. Applications : Résoudre dans C les équations z²=1+2i et z²=3-4i.