(à rendre le di 22 avril)
En 2023, un bien de consommation s'est vendu à 8 millions d'exemplaires dans le monde. Le temps x, en
années, étant compté à partir du 1er janvier 2024, on note f(x) le nombre de millions d'exemplaires de ce bien
qui auront été vendus en x années. Par exemple, f(1,5) est, en millions, le nombre d'exemplaires qui auront été
vendus au 1er juillet 2025.
Ainsi, la fonction f vérifie f(0) = 8. De plus, l'état du marché et la demande pour ce bien ont conduit au modèle
selon lequel f est solution de l'équation différentielle (E) sur [0; +[,
où (E) y' = 0,001y(200 - y). = f
1. Soit (E') l'équation différentielle : z' + 0,2z = 0,001.
a. Déterminer la solution constante de (E').
b. En déduire l'ensemble des solutions de (E').
2. Soit y une solution de (E) ne s'annulant pas sur [0; +co[. On pose z =
a.
Montrer que z est solution de (E').
b. En déduire que, pour tout x ≥ 0, on a : f(x) =
1000
5+120e-0,2x.
3. Déterminer l'année au cours de laquelle, selon ce modèle, le bien considéré se sera vendu à plus de
100 millions d'exemplaires.
4. Les personnes qui ont établi le modèle selon lequel f est solution de (E) se sont basées sur l'hypothèse
que le nombre d'exemplaires vendus
du bien étudié ne dépasserait jamais un certain seuil : lequel et
pourquoi ?