Exercice 47:
Deux joueurs A et B, amateurs d'un jeu vidéo, décident de jouer, toutes les semaines, une partie l'un contre l'autre. La probabilité que A gagne la partie de la première semaine est 0,7. Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la semaine suivante, et la probabilité qu'il
gagne alors la partie de la semaine (n+1) est de 0,8. Si A perd la partie de la semaine n, il
change de stratégie de jeu pour la semaine suivante et, alors, la probabilité qu'il gagne la partie de la semaine (n+1) est seulement de 0,3.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on désigne par A,n l'événement « A gagne la partie de la n-ième semaine », par Bn, l'événement « B gagne la partie de la n-ième semaine »,
et on note an= p(1.).
1. Recopier et compléter l'arbre ci-dessous avec les probabilités manquantes.
2. Justifier que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1. a..=0,5a+0,3.
3. La suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?
4. On considère la suite (u,) définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par
u-a-0,6 Démontrer que la suite (u,) est une suite géométrique de raison 0,5.
5. En déduire l'expression de a, en fonction de n, puis la limite de la suite (a.).