Objectif: Calculer une aire en résolvant un système.


MNPQ étant un carré de côté 1, on trace, à l'intérieur de ce carré, les
quarts de cercle de centres respectifs M, N, P, Q et de rayon 1. On obtient les points E, F, G, H.
On veut calculer l'aire, notée x, de la surface grisée.
Suivre pas à pas les étapes suivantes :
1. Première étape
a. Quelle est l'aire du carré ?
b. Exprimer cette aire en fonction de x, y et z.
c. On obtient ainsi une première équation: laquelle ?

2. Deuxième étape
a. Quelle est la nature de la partie colorée en rose?
b. Calculer l'aire de cette partie, puis exprimer la en fonction
de x, y et z.
c. On obtient ainsi une deuxième équation: laquelle ?

3. Troisième étape

a. Quelle est la
nature de la partie
colorée ci-dessus?
b. Quelle est son
aire?
c. Quelle est la
nature de la partie
colorée ci-dessus ?
d. Quelle est son
aire ?
e. En déduire
l'aire de la partie
colorée ci-dessus,
puis de celle-ci.
f. En exprimant la dernière aire en fonction de x, y et z, montrer que l'on obtient une 3e équation.
4. Quatrième étape
a. On a ainsi obtenu le système linéaire de 3 équations à 3 inconnues

x+2y+z=pi/3-racine de 3/4
x+4y+4z=1
x + 3y+ 2x =pi/4
À l'aide de la première équation, exprimer & en fonction de x et y puis substituer z dans les deux
autres équations.
b. Vous obtenez ainsi un système linéaire de deux équations à deux inconnues. Le résoudre puis
conclure.