EXERCICE 1: La loi de refroidissement de Newton
Dans sa cuisine, dont la température ambiante est constante et égale à 22 °C, Justine
suit la recette d'une tarte qui doit cuire dans un four à la température de 180 °C et
doit être servie Idéalement à une température de 25 °C.
Vingt minutes après avoir sorti la tarte du four, Justine constate que la température
de la tarte a diminué de 80 °C.
Elle souhaite connaître le temps qu'elle devra encore attendre pour déguster sa tarte.
Justine connaît la loi de refroidissement de Newton: «La vitesse de refroidissement
d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le
milieu ambiant. Elle traduit cette loi en notant e() la température (en degré Celsius)
de la tarte à l'instant (en minute) par 8'(r)-a(e()-22), où a est une constante.
1. Soit (E) l'équation différentielle y'-ay-22a
a. Résoudre l'équation différentielle (E).
h. En déduire que, pour tout nombre réel positif :
e(r) 158e+22
2. Montrer que le réel a vérifie e20a=-
39
79°
3. Soit la fonction définie sur R par f(x)=e20x
a. Dresser le tableau de variations de la fonctions en
précisant ses limites en- et en +0.
b. Montrer que l'équation
pour unique solution sur R
39
(x)=79 admet le réel a
4.
PYTHON
On considère la fonction suivante.
from eath import
def alpha():
x-0
while exp(20x)>39/791
x-x-0.0001
return x
a. Quel est le rôle de la fonction alpha?
b. La programmer et l'exécuter.
.....
c. En déduire une valeur approchée de a à 10 près.
5. a. Déterminer la limite de la fonction 0 en +0.
Interpréter cette valeur.
b. Étudier le sens de variation de la fonction 0 sur l'in-
tervalle [0;+[.
c. Déterminer, à la minute près, le temps que devra
attendre Justine avant de déguster sa tarte.