Un groupe de chercheurs étudie l'élimination d'un médicament dans le sang. Pour cela, les chercheurs injectent ce médicament par intraveineuse à un patient volontaire puis mesurent, pendant 24 h, la concentration de médicament dans le sang du patient (en gramme par litre). À l'instant initial, c'est-à-dire sitôt après l'injection, cette concentration est de 1,2 gramme par litre (g·L-¹). Puis, pour les 12 premières heures, la concentration est modélisée par la courbe ci-dessous.
(Voir graphique)

Partie A : Lecture graphique
1. Quelle semble être, en g\cdot L^{-1} la concentration du pro- duit dans le sang du patient au bout de 2 h ? Répondre par lecture graphique.
2. Pour que la personne ait le droit de conduire, il faut que la concentration de médicament soit inférieure à 0,4 gramme par litre. À partir de combien de temps après l'instant initial la personne peut-elle prendre le volant? Justifier graphi- quement la réponse.

Partie B: Modélisation
On admet que l'on peut modéliser cette situation par une fonction f. Si t désigne le temps en heure, la concentration en gramme par litre f(t) à l'instant est donnée par : f(t)=(0,5t+b)e^{-0,4t} pour tout t appartient à [0;24].
1. En utilisant la concentration dans le sang à l'instant initial, vérifier que f(t) = (0,5t + 1,2)e-0.4.
2. Déterminer la concentration au bout de 5 h en utili- sant ce modèle (donner la valeur exacte et une valeur arrondie au dixième).
3. On appelle f' la fonction dérivée de f. Calculer f'(t).
4. Étudier le sens de variation de f sur [0; 24] et inter- préter le résultat obtenu.
5. CALCULATRICE En utilisant ce modèle, et à l'aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d'heures après l'instant initial la concentration devient inférieure à 0,06 gramme par litre.

Partie C PRISE D'INITIATIVE
On admet que la fonction dérivée de ƒ donne, en valeur absolue, la vitesse d'élimination du médica ment par l'organisme. Les chercheurs ont démontre que cette vitesse d'élimination commence à décroître 2 h 36 min après l'injection. Justifier cette affirmation.​