Pour expliciter la loi d’une variable aléatoire continue il est habituel de chercher l’expression de sa fonction de répartition puis de dériver cette dernière pour obtenir la loi (densité de probabilité) cherchée
Cette technique est illustrée présentement par l'étude des temps d'attente dans un processus de Poisson, exercice à l'occasion duquel la reconnaissance et l'usage de lois « fondamentales » est propose.
Exercice 1:
On suppose que le nombre de clients N, qui entrent dans un magasin pendant une unité de temps t (t > 0) , suit une loi de Poisson de paramètre 2t (1 paramétre réel positif).
Pour tout entier naturel n, on note par X,, l'instant d'arrivée du n'éme client qui entre dans ce magasin à partir de l'instant + = 0.
Les arrivées des clients sont supposées être indépendantes.
Question 1:
Exprimer l'évènement (X, ≤ t) à l'aide de la variable N,.
Question 2:
Déterminer la loi de X, et en déduire les valeurs de E(X,) et de V (X,): Question 3:
Déterminer 'expression de la fonction de répartition de X, en fonction de n et de t.
Question 4:
En déduire l'expression de la densité /x, (t) de la variable X..
Question 5:
Interpréter X,, en fonction des variables V, /...,. Y, indépendantes, équidistribuées, de la loi parente X,
Question 6:
En fonction des résultats du cours, retrouver ainsi la loi suivie par X, et le résultat obtenu à la question 4.
Question 7:
En déduire E(X,) et v(X,).