Devoir maison facultatif 9 (sur les suites) Exercice (relations de récurrence linéaire d'ordre 2) On souhaite déterminer le terme général de la suite u défini sur N' par u 1 =1 ct forall n in N^ * u_{n+ 1}= 2u_{n} + n 1) a) Calculeru u_{2}, u_{1}, u_{4}*ct*u_{5} b) Justifier que pour tout cette relation de récurrence. entier ou supérieur égal à 2 ,u_{n+1} -3u_{n} + +2u_{n-1} = 1. On note (*) c) Justifier que si une suite deux premiers termes, on peut vérifier la relation u_{n + 1} -3u_{n} +2u_{n-1} =1 alors, si on connait ses calculer tous les termes de la suite 2) On souhaite déterminer toutes les suites vérifiant la relation de récurrence (*) a ) Justifier que la suite définie sur N par t_{n} = - n vérifier la relation t_{n + 1 } -3t_{n} +2t_{n-1} =1 b) En déduire que si une suite est définie sur N par vérifier la relation de récurrence u_{n + 1} -3u_{n} +2u_{n-1} =1 , la v_{n} = u_{n} + n vérifier la relation de récurrence v_{n + 1 } -3v_{n} +2v_{n-1} = 0 notée (**) 3) On souhaite déterminer toutes les suites vérifiant la relation de récurrence (**) a) Montrer que si v est une suite géométrique de raison q n'est pas égal à 0 vérifiant v_{n+1}-3v_{n}+2v_{n-1}=0 alors q = 1 ou a = 2 b) En déduire que pour tous réels a et b. la suite v définie sur N par v_{n} =a+b*2^ n ,vérifie la relation de récurrence v_{n+ 1} -3v_{n} +2v_{n-1} =0 4) On reprend la suite u défini au début d'exercice Soit la suite définie sur N par v_{n} = u_{n} + n On suppose qu'il existe deux réels a et b tels que VEN. v_{n}=a+b*2^n a) Justifier que v_{1} = 2 , v_{2} = 5 b) Montrer que a = - 1 et b = 3/2 c) En déduire que VnEN, u_ {n} = 3 * 2 ^ (n - 1) - n - 1 5) Montrer que la suite u définie par VnEN, u_{n} = 3 * 2 ^ (n - 1) - n - 1 vérifier u = 1 et pour tout n dans N^ - . u_{n+ 1 }=2u_{n} +n.
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