Une entreprise fabrique chaque jour des pi`eces m´etalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne
varie entre 0 et 25 pi`eces. Le montant des charges correspondant `a la fabrication de x pi`eces, exprim´e en euro, est mod´elis´e
par la fonction C : x ∈ [0; 25] 7→ x
3 − 30x
2 + 400x + 100. On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production
journali`ere. Chaque pi`ece est vendue au prix de 247 euros.
1. Quelle est la recette (sommes totales per¸cues) pour x pi`eces vendues ?
2. On note B la fonction b´en´efice, exprim´ee en euro. On rappelle que le b´en´efice est ´egal `a la diff´erence entre la recette
et les charges. Justifier que, pour tout x ∈ [0; 25], B(x) = −x
3 + 30x
2 − 153x − 100.
3. Montrer que B est d´erivable sur [0; 25] et que pour tout x ∈ [0; 25], B0
(x) = −3(x − 3)(x − 17).
4. Etudier le signe de ´ B0
sur l’intervalle [0; 25] puis en d´eduire le tableau de variations de la fonction B.
5. Combien l’entreprise doit-elle produire de pi`eces quotidiennement pour r´ealiser un b´en´efice maximal ?