Bonjour j’ai besoin de l’aide svp pour des exercices en maths.
Exercice Triangle de Sierpinski
On dispose au d ́epart d’un triangle ́equilat ́eral de cˆot ́e 3 cm dont l’int ́erieur est noir.
A` la premi`ere ́etape, on construit le triangle des milieux que l’on colorie en blanc.
A` la deuxi`eme ́etape, on r ́ep`ete l’op ́eration pr ́ec ́edente dans chacun des trois triangles noirs de l’ ́etape 1.
Et ainsi de suite... ind ́efiniment !
́etape 1 ́etape 2 ́etape 3 ́etape 4 ́etape 5
On s’int ́eresse aux triangles blancs Tn construits lors de l’ ́etape n.
Pour chaque n > 1, on d ́esigne par un le nombre de triangles Tn, pn le p ́erim`etre d’un triangle Tn et an l’aire d’un triangle Tn.
1. E ́tude d’un triangle Tn
(a) D ́eterminer u1 et p1
(b) Montrer que a1 = 9√3 16
(c) Indiquer comment u2 s’obtient facilement `a partir de u1. Cela reste-t-il vrai de l’ ́etape n `a l’ ́etape n + 1 ? Donner l’expression de un+1 en fonction de un.
(d) De la mˆeme fa ̧con, donner l’expression de pn+1 en fonction de pn, ainsi que l’expression de an+1 en fonction de an
(e) Quelle est la nature des suites (un), (pn) et (an)? Donner l’expression de un, de pn et de an en fonction de n.
2. Un trac ́e bien long...
On note Pn la somme des p ́erim`etres de tous les triangles Tn construits au cours de l’ ́etape n.
(a) Exprimer Pn en fonction de un et pn.
Å3ãn
(b) Montrerquepourtoutentiern>1, Pn =3× 2 .
(c) Montrer que la suite (Pn) est g ́eom ́etrique. Quel est son sens de variation? Justifier.
(d) A` l’aide de la calculatrice, d ́eterminer `a partir de quelle ́etape Pn d ́epassera-t-il 1 m ? 1 km?
3. Vers le blanc !
On note Sn la somme des aires de tous les triangles blancs figurant `a l’issue de la n-i`eme ́etape.
(a) Conjecturer la limite de Sn quand n tend vers +∞ simplement en observant les figures.
(b) En s’inspirant de 2.(a), montrer que la somme des aires des triangles Tn construits `a √ Å3ãn+1
l’ ́etape n vaut 3 4 .
(c) En d ́eduire que la somme Sn est ́egale a` 9√3 ï1 − Å3ãnò.
(d) A` l’aide de la calculatrice, d ́eterminer `a partir de quelle ́etape le triangle est-il blanc `a plus de 95%? A` plus de 99%