On considère un carré ABCD de côté 4 cm. On note M un point quelconque du segment [AB] et on pose x = AM. Les segments [AC] et [DM] se coupent en un point I. On note H le pied de la hauteur issue de I dans le triangle AMI et G le pied de la hauteur issue de I dans le triangle DIC. On considère la fonction f qui à x associe l’aire totale recouverte par les deux triangles AMI et DIC.
1. construire la figure ci dessus. (le carré ABCD)
2. Quel est l’ensemble de définition D de la fonction f ?
3. On pose ℎ=IH
a. En utilisant deux fois le théorème de Thalès, montrer que h/4 - h = x/4
b. En déduire que ℎ = 4x/x + 4
4. Montrer que, pour tout x de D, f(x) = 2(x^2 + 8x - 16)/(x + 4)^2
5. f est dérivable sur D. Montrer que, pour tout x de D,
f'(x) = 2(x^2. + 8x − 16)/(x + 4)^2
6. Etudier les variations de la fonction f sur D.
7. Déterminer la position du point M sur [AB] telle que l’aire recouverte par les triangles AMI et DIC soit minimale