Exercice 3:
Un peu d'histoire: La crise de l'école pythagoricienne, la
découverte de l'irrationalité de √2
La pratique de la mesure des grandeurs (longueurs, aires, volumes) avait
convaincu les Grecs anciens que deux grandeurs( deux longueurs deux
aires deux volumes...) étaient toujours commensurables; cela signifie que
l'on peut toujours trouver une unité telle que ces deux grandeurs soient un
nombre entier de cette même unité.
Cette affirmation revient à dire que le rapport entre deux grandeurs est
toujours un nombre rationnel. C'est une des raisons pour laquelle les
pythagoriciens pensaient que les nombres entiers suffisaient à rendre
compte du monde. La mesure de la diagonale du carré allait ruiner cette
croyance.
1°) a) Alice a tapé √2 sur sa calculatrice et elle affirme que
√2=1,4142135623731 A-t-elle raison? ( justifier).
c) En utilisant vos connaissances sur les rationnels, selon vous, peut-on
dire que √2 est rationnel?
2°) On fait l'hypothèse que √2 est rationnel, il pourrait alors s'écrire
sous forme de fraction irréductible :
a) Justifier que m² est alors un nombre pair.
n
avec m et n entiers.
Expliquer alors pourquoi m est nécessairement pair.
b) En utilisant ce qui précède, justifier que n est aussi pair.
c) Que peut-on penser alors de l'hypothèse √2 est rationnel? Conclure.