Une entreprise fabrique et vend du lait infantile 1e âge. Elle peut pro duire chaque jour entre 0,5 et 10 tonnes de ce produit qu'elle revend en totalité au prix unitaire de 8800 € la tonne.
Le coût de fabrication, en centaines d'euros, de tonnes de lait est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle (0,5; 10] par :
C() = 213 - 152 + 52г + 50.
Le coût moyen correspondant à la production de r tonnes de lait est défini par Cm (x) =
C(x)
Le coût marginal est le coût induit par la production d'une tonne supplémentaire lorsqu'on a déjà produit x tonnes. Ce coût est très proche de C'(*), où C'est la dérivée de la fonction C.
On note C.,. la fonction définie sur [0,5 : 10] par C.,(t) = C'(x).
A Coût moyen et bénéfice
1. A l'aide d'un tableur, entrer dans la colonne A la quantité x de lait produit (en tonnes), pour x variant de
0,5 à 10 avec un pas de 0,1 et dans la colonne B le prix unitaire (en centaines d'euros).
2. a. Montrer que, pour tout réel x de [0,5 ; 10],
Cn() = 27 - 15х + 52+
50
b. Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, peut-on saisir dans la cellule C2 pour faire afficher le coût moyen dans la colonne C?
c. Compléter la colonne C.
3. Représenter graphiquement le prix unitaire et l'évolution du coût moyen en fonction de la quantité de lait produit.
4. On dit qu'll y a bénéfice lorsque le prix de vente unitaire est strictement supérieur au coût moyen.
A l'aide des résultats fournis par le tableur, faire une conjecture sur la quantité de lait que doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice.
B Coût moyen et coût marginal
1. Montrer que pour tout réel x de [0,5 ; 101, C ,(x) = 67 - 30x + 52.
2. Faire afficher dans la colonne D le coût marginal pour chaque valeur de x.
3. Ajouter sur le graphique la représentation du coût marginal en fonction de la quantité de lait produit.
4. À l'aide des résultats fournis par le tableur, faire une conjecture sur la quantité de lait que doit produire l'entreprise pour que le coût moyen soit minimal. Quel est ce coût moyen minimal ?
5. Que peut-on penser de l'affirmation suivante:
« Le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal » ?
C Étude théorique du bénéfice maximal
Soit B la fonction qui, à tout réel x de [0,5; 10] associe le bénéfice (en centaines d'euros) réalisé par la production et la vente de r tonnes de lait.
1. Montrer que B(x) =- 2r* + 15x* + 36x - 50.
2. Calculer B'(x) puis montrer que B' (x) = - 6(x-6)(x+ 1).
3. Construire le tableau de variation de la fonction B sur [0,5 ; 10].
4. Quelle est la quantité de lait que doit produire l'entreprise pour que le bénéfice soit maximal.
Quel est ce bénéfice maximal ?
5. Que peut-on penser de l'affirmation suivante ?
« Le bénéfice de l'entreprise est maximal lorsque le coût marginal est égal au prix de vente unitaire.»

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