Exercice 1: (8,5 points)
DEVOIR MAISON : PYRAMIDE DE SIERPINSKI
4ème
Voici les trois premières étapes de la construction de la pyramide de Sierpinski. A chaque étape, on
évide chaque tétraèdre afin d'obtenir quatre tétraèdres deux fois plus petits. Tous les tétraèdres sont
réguliers, leurs arêtes mesurent toutes la même longueur.
Etape 1
Etape 2
Etape 3
1)a) Combien de tétraèdres composent la 3eme étape?
b) Si on poursuit le procédé, combien de tétraèdres composent la 12ème étape? Justifier.
2) Dans cette partie, nous allons calculer le volume du tétraèdre de la première étape. On prendra
48cm pour le côté du tétraèdre.
a) On admet que I est le milieu de [AB]. Montrer que [IC]
mesure environ 41,6 cm.
b) Sachant que JC-x IC, calculer JC. (Arrondir au dixième).
c) Montrer que [PJ] mesure environ 39,2 cm.
d) Calculer le volume du tétraèdre ABCP (arrondi à l'unité).
Aire de la base x hauteur
Rappel: Volume pyramide
3
3) Calculer le volume totale que représente l'ensemble des
tétraèdres de l'étape 3. Justifier. (A chaque étape, les
tétraèdres ont un volume 8 fois plus petit).