Bonjour, pouvez-vous m’aider avec cet exercice ?

ABCD est un carré de centre O, et I, J, K et L sont les milieux de chacun de ses côtés.



Le segment [AJ] coupe les segments [DI] et [BK] en F et G respectivement; le segment [CL] coupe les segments [BK] et [DI] en H et E respectivement. On désigne par a la longueur des côtés du carré ABCD.



1) Démontrer que le quadrilatère BKDDest un parallélogramme. Calculer en fonc- tion de a la longueur de ses côtés.



2) On admet que le quadrilatère EFGH est un carré (on ne demande pas de le démontrer).



a) Montrer que : AJ = 5/2 FG



b) En déduire le rapport (FG)/(A B') puis le rapport des aires des deux carrés.



3) a) On appelle M le milieu du segment [FG]. Démontrer que les trois points E, M et B sont alignés.



b) On veut construire un carré PQRS à l'intérieur du carré EFGH, par le même procédé qui a permis de construire le carré EFGH à l'intérieur du carré ABCD.



Expliquer pourquoi cette construction peut être réalisée à l'aide uniquement d'une règle non graduée (sans compas ni équerre).



c) Calculer en fonction de a la longueur du côté du carré PQRS.