Le triangle de Sierpinski :
On dispose au départ d'un triangle équilatéral de côté 3 cm dont l'intérieur est noir.
A la première étape, on construit le triangle des milieux que l'on colorie en blanc.
A la deuxième étape, on répète l'opération précédente pour chacun des trois triangles noirs de l'étape 1.

Et ainsi de suite... indéfiniment ! Le dessin ci-contre est celui qui correspond à la 5ième étape.
On s'intéresse aux triangles blancs T₁ construits lors de la n-ième étape.
Pour n ≥ 1, on désigne par u, le nombre de triangles T₁, par p, le périmètre et
par a l'aire d'un triangle T.
Partie A: Étude d'un triangle T
n
1. Calculer u₁, P₁ et a₁.
(j’ai trouvé : U1= 3 P1= 9/2 A1=9racine carré 3/16)
2. Indiquer comment u₂, P₂ et a₂ s'obtiennent à partir de u₁, p₁ et a₁. (j’ai mis : U2= 3U1 P2= 1/2P1 et A2=1/4 A1)
3. Préciser en justifiant les relations de récurrence entre Un+1, Pn+1 et Pn et finalement An+1 et An
4. a.En déduire la nature des suites (Un), (Pn) et (An)
b. Justifier soigneusement que pour tout

Partie B: Un tracé bien long
Soit Pn la somme des périmètres de tous les triangles T, construits au cours de l'étape n ≥ 1
5. a. Exprimer Pn en fonction de Un et Pn
b. démontrer que pour n ≥ 1 : Pn = 3 × (1,5) puissance n .

Partie C: Vers le blanc
8. On note Sn la somme des aires de tous les triangles Tn construits au cours de l'étape n.
8.démontrer que pour n ≥1 : Sn =
√3 x 0,75 puissance n+1

9. On désigne par £n, la somme des aires de tous les triangles blancs obtenus lors des n ieme étapes.
n
9.a. Justifier que pour tout n ≥ 1 : £n < ou égal à 9√ 3 divisé par 4

9.b. démontrer que pour n ≥ 1 : £n=9√ 3 diviser par 4 fois (1-0,75puissance n)

9.c. A partir de quelle étape, le triangle est-il blanc à plus de 95% puis à plus de 99 % ?