Bonjour j’ai besoin d’aide pour cet exercice de mon dm svp

Exercice 3: suite et probabilité

Chaque semaine, un fermier propose en vente directe des paniers contenant des légumes, du fromage et des pots de yaourt. L'agriculteur demande à ce que chaque semaine, le client rapporte ses pots vides. On
suppose que le nombre de clients de l'agriculteur reste constant. Une étude statistique réalisée donne les résultats suivants :
- à l'issue de la première semaine, la probabilité qu'un client rapporte les pots de son panier est 0,85;
- si le client a rapporté les pots de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il les ramène la semaine suivante est 0,9;
- si le client n'a pas rapporté les pots de son panier une semaine, alors la probabilité qu'il les ramène la semaine suivante est 0,3.

On choisit au hasard un client parmi la clientèle de l'agriculteur. Pour tout entier naturel ʼn non nul, on note R, l'évènement « le client rapporte les pots de son panier de la n-ième semaine ».

1. a. Modéliser la situation étudiée pour les deux premières semaines à l'aide d'un arbre pondéré qui fera intervenir les évènements R1 et R2.

b. Déterminer la probabilité que le client rapporte ses pots des paniers de la première et de la deuxième semaine.

c.Déterminer la probabilité que le client rapporte les pots du panier de la deuxième semaine.

d. Sachant que le client a rapporté les pots de son panier de la deuxième semaine, quelle est la probabilité qu'il n'ait pas rapporté les pots de son panier de la première semaine ? On arrondira le résultat à 10-³

2. Pour tout entier naturel n non nul, on noter, la probabilité que le client rapporte les pots du panier de la n-ième semaine. On a alors r=P(R₁)

a. Recopier et compléter l'arbre pondéré (aucune justification n'est attendue) (voir photo jointe):

b. Justifier que pour tout entier naturel n non nul rn+1= 0,6 rn +0,3
c. On pose Un= rn-0,75 pour tout entier n, montrer que Un est une suite géométrique de raison 0,6.

d. Déterminer l'expression de Un, en fonction de n et en déduire la forme explicite de rn.

e. Déterminer la probabilité que le client rapporte les pots de son panier au bout d'un an.