DM Découverte de la notion de Fonction
L'objectif de ce DM est d'utiliser la représentation graphique d'une fonction pour résoudre un problème de géométrie.
On considère un rectangle ABCD dont l'aire est égale à 1 m² :
A
Aire = 1 m²
D
C
On cherche à déterminer les dimensions de ce rectangle telles que le périmètre du rectangle soit minimum. Les
dimensions sont exprimées en m.
B
1) Montrer que si AB = 2 et BC= 0,5 alors l'aire du rectangle ABCD est bien 1. Quel est alors le périmètre du
rectangle ABCD?
2) Proposer trois valeurs pour AB et dans chaque cas, calculer la valeur de BC et du périmètre ABCD.
1
3 a) On pose maintenant AB = x. Démontrer que BC = (aide l'aire du rectangle est égale à 1).
x
P(x)
3 b) Exprimer le périmètre P(x) du rectangle ABCD en fonction de x.
3 c) Recopier et compléter le tableau suivant. Sur la deuxième ligne sont calculés les périmètres du rectangle.
ABCD pour chaque valeur de x correspondante.
0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
Bilan:
3 d) A l'aide du tableau précédent, tracer un graphique cartésien montrant l'évolution du périmètre en fonction
des valeurs prises par x (1cm pour 0,25m sur l'axe des abscisses et 1cm pour 1m sur l'axe des ordonnées).
3- e) Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle le périmètre est minimum et conclure. Sur le graphique,
on laissera apparents les traits de construction.
Le procédé qui a tout nombre x fait correspondre son périmètre est une fonction (ici noté P).
La courbe obtenue est appelée la courbe représentative de la fonction P.