Exercice 1:
En 1798, l'économiste anglais Thomas Malthus publie An essay on the principle of population dans lequel il émet
l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires,
conduira son pays à la famine. Il écrit :
Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la popu-
lation n'est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous
les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une
progression géométrique. (...) Nous sommes donc en état
de prononcer, en partant de l'état actuel de la terre habitée,
que les moyens de subsistance, dans les circonstances les
plus favorables de l'industrie, ne peuvent jamais augmenter
plus rapidement que selon une progression arithmétique.
En 1800, la population de l'Angleterre était estimée à 8 millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir 10
millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de 2,8 % chaque année et que les
progrès de l'agriculture permettent de nourrir 0,4 million de personnes de plus chaque année.
On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes. On arrondira les résultats au millième.
1. On note un la population en Angleterre en millions d'habitants l'année 1800 + n.
a. Déterminer uo et u₁ et interpréter le résultat.
b. Justifier que pour tout entier naturel n, un+1 = 1,028un
c. Préciser la nature de la suite ainsi que sa raison. En déduire l'expression de un en fonction de n.
d. A l'aide de votre calculatrice (ou de l'application Numworks), déterminer la population en millions d'habitants de
l'Angleterre en 2019.
e. A partir de quelle année la population de l'Angleterre aurait-elle dépassé 55,6 millions d'habitants, c'est-à-dire sa
population actuelle ? Est-ce que ce modèle est réaliste ?
2. On note vn le nombre de personnes que les progrès de l'agriculture permettent de nourrir, en millions, l'année
1800+ n.
a. Déterminer vo et v₁ et interpréter le résultat.
b. Justifier que pour tout entier naturel n, vn+1 = n + 0,4.
c. Préciser la nature de la suite ainsi que sa raison. En déduire l'expression de v₁ en fonction de n.
d. A l'aide de votre calculatrice (ou de l'application Numworks), déterminer le nombre de personnes que les progrès
de l'agriculture permettent de nourrir en 2019.
e. A partir de quelle année la population de l'Angleterre serait-elle devenue trop importante pour ne plus être
suffisamment nourrie par son agriculture?
Exercice 2:
Maryam participe à une compétition de lancer de poids. On imagine
qu'elle est placée à l'origine du repère gradué en mètre.
Lors de son lancer, la trajectoire du poids est donnée par la fonction f
telle que f(x) = -0,4 × (x + 0,5) x (x 5,75) où x est la distance
au sol en mètres parcourue par le poids et f (x) l'altitude, en mètres,
du poids quand celui-ci se trouve à une distance au sol de x mètres de
la lanceuse. On donne ci-contre la représentation graphique de f.
1. Calculer f(0). De quelle hauteur est lancé le poids par Maryam ?
2. Quelles sont les racines de la fonction f(x)?
2
3. Donner le tableau de signe de la fonction f. Quelle est la distance au
sol totale parcourue par le poids?
0
1
5
4. Donner le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [0; 5,75]. La hauteur maximale atteinte par le poids
dépasse-t-elle 4 m ? Justifier.
Rappel : si x₁ et x2 sont les racines de f, le point de coordonnées (x1+x2; f (x1+x2))
de la fonction f, ainsi f (x1+x2) est un extremum de la fonction f.
est le sommet de la parabole