Soient A un ensemble non vide à n éléments et k un entier naturel. On souhaite déterminer le nombre de combinaisons de k éléments de A avec répétitions.

Si on note {x1 ; x2 ; ... ; xn} les éléments de A, cela revient à construire un n-uplet (k1;k2; ...;kn)de{0;1; ...;k}.
L‘entier ki représente le nombre de fois où on a choisi l‘élément xi et la somme des ki vaut k. Parexemple,siA={a; b; c; d}etk=6,len-uplet(0;2;3;1)correspondauchoixde0 fois a, 2 fois b, 3 fois c et 1 fois d.
1. On considère le mot 000...0, où le chiffre 0 apparaît n + k − 1 fois. On souhaite remplacer k de ces 0 par 1. De combien de manières différentes peut-on procéder ?
2. Comment faire correspondre à ce nouveau mot un n-uplet (k1 ; k2 ; ... ; kn) comme défini dans l'énoncé ?
3. En déduire que le nombre de combinaisons à k éléments de A, avec répétitions, est ( n+k−1 ).
k
4. Application 1 : On dispose de fleurs jaunes, roses, rouges et bleues et on souhaite faire un bouquet de dix fleurs. Combien de bouquets différents peut-on constituer ?
5. Application 2 : Combien de triplets (x ; y ; z) d'entiers naturels tels que x + y + z = 50 existe-t-il ?