Devoir Maison Approfondissement
Exercice 1: Vieille technologique en mathématiques.
rechercher sur internet ou youtube : la résolution d'équation différentielle linéaire du premier ordre
à coefficient constant avec second membre.
Exemple: y'+3y = 12, la solution est y(x)= k exp(-3x) +4 où k est dans R.
Le réel k peut être déterminé si on a une condition par exemple y(0)=6.
En remplaçant x=0, on a y(0)-k exp(-3x0) + 4 = k +4 or y(0)-6 d'où k+4=6 soit k=2
conclusion la solution y' +3y = 12 et y(0)-6 est y(x)= 2exp(-3x) +4 sur R.
Question:
Justifier la présence du 4 dans la solution générale y(x)= k exp(-3x) + 4 de y' +3y = 12.
Exercice 2:
Dans une boulangerie, les baguettes sortent du four à une température de 225 °C.
On s'intéresse à l'évolution de la température d'une baguette après sa sortie du four.
On admet qu'on peut modéliser cette évolution à l'aide d'une fonction f définie et dérivable
sur l'intervalle [0; +[. Dans cette modélisation, f(t) représente la température en degré
Celsius de la baguette au bout de la durée t, exprimée en heure, après la sortie du four.
Ainsi, ƒ(0,5) représente la température d'une baguette une demi-heure après la sortie du
four.
Dans tout l'exercice, la température ambiante de la boulangerie est maintenue à 25 °C.
On admet alors que la fonction f est solution de l'équation différentielle '+6y= 150.
a. Préciser la valeur de f(0).
b. Résoudre l'équation différentielle y' + 6y = 150.
c. En déduire que pour tout réel t≥0, on a f(t) = 200 est + 25.
Exercice 3:
On considère l'équation différentielle:
(E): y'+y=e¯*
1. Soit u la fonction définie sur R par u(x) = xe™*.
Vérifier que la fonction u est une solution de l'équation différentielle (E).
2. On considère l'équation différentielle (E'): y'+y=0.
Résoudre l'équation différentielle (E') sur R.
3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle (E) sur R.
4. Déterminer l'unique solution g de l'équation différentielle (E) telle que g(0) = 2.
Svp !