Exercice 1 utilisation d'une fonction auxiliaire :
Partie A: Soit la fonction g définie sur R par: g(x) = 2x³ + 5x² + 4x - 1
1) Déterminer g'(x), étudier son signe, et construire le tableau de variations de la fonction g. Préciser les extremums.
2) a) Comment justifier qu'il existe une unique solution α dans [0; 1] à l'équation g(x) = 0 ?
b) α est-elle l'unique solution réelle à l'équation g(x) = 0 ?
c) Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée par défaut à 10^-2 près de α.
3) Déduire de ce qui précède le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie B: Soit la fonction f définie sur ] -1; +∞ [par : f(x) = (x^3 + 2x²+x+2)/(x+1) de courbe représentative Cf en repère orthonormé (d'unité 2 cm)
1) Montrer que f'(x) et g(x) sont de même signe, en déduire le tableau de variations complet de f. On donnera une valeur approchée à 10^-2 près de l'extremum atteint par f.
2) a) Déterminer l'équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse nulle.
b) La courbe Cf admet-elle une autre tangente parallèle à (T)? Justifier algébriquement.
2) Représenter Cf et sa tangente (T) sur un même graphique.​