La droite d'Euler
On considère un triangle ABC. On note A', B' et C' les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB].
On appelle le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre du triangle ABC.
On souhaite démontrer que O, G et H sont alignés.
La droite passant par ces points est appelée « droite d'Euler » du triangle ABC.
Partie A
Construction à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique
• Placer trois points quelconques A, B et C.
• Construire les milieux A', B' et C.
• Construire en bleu les médiatrices de [AC] et [BC].
• Placer le centre du cercle circonscrit O, intersection des deux
médiatrices.
1/
. Construire en rouge les médianes issues de A et de C.
• Placer le centre de gravité G, intersection des deux médianes.
. Construire en vert les hauteurs issues de A et de C.
•Placer l'orthocentre H, Intersection des deux hauteurs. que peut-on conjectarer?
Partie B Démonstration d'une propriété
Solt I le milieu d'un segment quel- S
conque [RT].
Soit S un point quelconque.
R
En appliquant judicieusement la relation de Chasles,
montrer qu'on a l'égalité :
SR+ST=251
Partle C Démonstration de la conjecture de la partie A
1. Soit M le point défini par OM=
OA+OB+OC.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
AM = A...+...M=20A'
b. Que peut-on dire des droites (AM) et (OA)?
c. En déduire que la droite (AM) est la hauteur issue
de A du triangle ABC.
d. Démontrer de même que (BM) est la hauteur issue
de B du triangle ABC.
e. Justifier que M et H sont confondus et qu'on a
l'égalité : OH=OA+OB+OC.
2. Soit N le point tel que NA+NB+ NC = 0.
a. À l'aide de la relation de Chasles et du résultat de
la partie B, montrer que:
3NA+2AA'=0
b. En déduire que N = (AA).
c. Montrer de même que N = (BB').
d. Justifier que Net G sont confondus et qu'on a l'éga-
lité: GA+GB+GC=0.
3. À partir des égalités obtenues aux questions 1. e.
et 2. d. et la relation de Chasles, montrer que OH = 30G
Conclure.