Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l'année 2020, cette population comptait 600 individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.
Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite (Un) définie par Up = 0,6 et Un+1 = 0,75u,(1 - 0,15,), où pour tout entier n, un désigne le nombre d'individus en milliers au début de l'année 20200+n.
1. Estimer à l'aide du modèle décrit ci-dessus le nombre d'individus au début de l'année 2021 et au début de 2022.
2. Soit fla fonction définie sur l'intervalle [0;1] par
f(x) = 0,75x(1 - 0,15x). Montrer que f est croissante sur
[0;1] et dresser son tableau de variation.
3. Résoudre dans l'intervalle [0;1] l'équation f (x) ≤ x.
4. En déduire que pour tout n, 0 ≤ Un+1 ≤ Un ≤ 1.
5. En calculant certaines valeurs de Un, conjecturer la limite de la suite.
6. Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction. Justifier que selon ce modèle, il a raison.