57 On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : f(x) = 2(In (x))² - Inx-1. 1.Calculer f'(x) et en déduire le sens de variation de f.

2. a) Résoudre l'équation 2X² -X-1=0.
b) En déduire que l'équation f(x) = 0 a deux solutions qui 1 √e sont e et
3. a) Donner le tableau de variations de f sur l'intervalle [ie] ;e
b) En déduire que l'équation f(x) = -1 admet exactement deux solutions a et ß sur cet intervalle. c) Déterminer les valeurs exactes de a et ß en résolvant directement l'équation f(x) = -1.
4. Justifier que l'équation de la tangente à 6,, courbe 3 représentative de f, au point d'abscisse e est T₁: y=-x-3. e