Bonjours je n’arrive pas à faire cet exercice, pourriez vous m’aider s’il vous plaît.

On injecte un antibiotique à un patient. On
modélise cette situation par une fonction f qui, à tout
temps t, exprimé en heures, écoulé depuis l'injection, asso-
cie la concentration, exprimée en mg.L-¹ de l'antibiotique
dans le sang du patient.
Cette fonction fest définie sur l'intervalle [0; +[ par:
8t
f(t)=-
²+1
1. On note f' la fonction dérivée de la fonction f.
a. Montrer que, pour tout réel t positif ou nul,
8(1-t)(1+t)
(²+1)²
f'(t)=-
b. Étudier le signe de f'sur [0; +[ et en déduire le tableau
de variations de f.
c. Au bout de combien de temps après l'injection la
concentration de l'antibiotique est-elle maximale ? Préciser
cette concentration maximale en mg.L-¹.
2. En antibiothérapie, on définit la CMI comme la concen-
tration minimale d'antibiotique permettant d'empêcher
la multiplication bactérienne. La CMI de l'antibiotique
injecté est égale à 2,4 mg.L-¹.
-2,4(t-3) t--
a. Montrer que f(t)-2,4=
²+1
b. Étudier le signe de cette expression sur l'intervalle
[0; +∞[.
c. Montrer que la concentration de l'antibiotique injecté
est supérieure à sa CMI pendant 2 h 40.