Bonjour, j’ai un DM et je bloque sur quelques question :

108)Optimisation d'un coût moyen
Une société produit une quantité x, comprise entre 0 et 12 tonnes, d'encre bleue pour stylo. Le coût total (exprimé en millier d'euros) pour fabriquer a tonnes d'encre est modélisé par la fonction :
Ct(x) = 1/3x^3 +3x^2 +10x+36
Cette entreprise souhaite déterminer la quantité à produire pour que le coût moyen par tonne soit minimal.

1 - Conjecture graphique
a. Calculer le coût de production de douze tonnes de ce produit.
En déduire le coût moyen par tonne.
b. Sur un logiciel de géométrie dynamique, représenter la courbe C de la fonction Ct puis y placer un point mobile M.
Représenter la droite (OM) où O est l'origine du repère.
c. Justifier que le coefficient directeur de cette droite représente le coût moyen par tonne.
Retrouver alors graphiquement le résultat de la question 1. a.
d. En déplaçant le point M sur la courbe, conjecturer graphiquement la quantité à produire pour que le coût moyen soit minimal. Que représente alors la droite
(OM) pour la courbe 6 ?

2- Recherche du coût moyen minimal par le calcul
a. Montrer que, pour tout x € ]0;12], le coût moyen Cm (x) de fabrication de x tonnes est égal à :
См (x) = x3 - 9x2 + 30x + 108 / 3х

b. La fonction CM , est dérivable sur j0;12]. Montrer que, pour tout x€ ]0;12], on a :
C’M (x) = (x-6) (2x^2+ 3x +18) / 3х

c. Retrouver alors la quantité de produit à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.



J’ai déjà trouvé Ct(12)= 300 et donc que le coût moyen est de 25.
Merci d’avance !