Exercice2. On considère les suites numériques (u_{n}) et(vn) définie par: u_{0} = 4 , u n + 1 = -n u n +1 et v_{n} = 1/(u_{n} - 2) (VNEN)

1 ) a) Vérifier que u n + 1 -2= 3(u n -2) ..+ ; VNEN

b) Montrer que un > 2; VNEN)

2) a) Vérifier que u n + 1 -u n = \ n u n +1

b) Montrer que(un) est monotone et déduire qu'elle est convergente

c) Déduire que 2 < u_{n} <= 4 ; forall n in mathbb N )

3) a) Montrer que(v) est une suite arithmétique de raison r = 1/2 et calculer vo b) Exprimer v, en fonction de n puis calculer

lim n -> ∞ t l_{n} = (7n + 1)/(2n + 3) 4) a) Vérifier que u_{n} = (2v_{n} + 1)/(∞) déduire que VNEN

b) Calculer lim un 7+00 c) Montrer que 3 n'est pas un terme de la suite (u_{n})

5) Calculer la somme:

S n = 1/(u_{0} - 2) + 1/(u_{1} - 2) +.........+ 1 u n -2

en fonction de n

6) Soit (t_{n}) * l suite numérique définie t_{n} = 6v_{n} + 1 Montrer que(tn) est arithmétique de raison 2