Bonjour j’ai un DM pour vendredi je ne trouve pas les réponse pouvez vous m’aider Ex: 108 Optimisation d'un coût moyen
Une société produit une quantité x, comprise entre 0
et 12 tonnes, d'encre bleue pour stylo. Le coût total
(exprimé en millier d'euros) pour fabriquer x tonnes
d'encre est modélisé par la fonction :
1
C₁(x)=3x³-3x² +10x +36
Cette entreprise souhaite déterminer la quantité à pro-
duire pour que le coût moyen par tonne soit minimal.
Conjecture graphique
1.
a. Calculer le coût de production de douze tonnes de
ce produit.
En déduire le coût moyen par tonne.
b. Sur un logiciel de géométrie dynamique, représenter
la courbe de la fonction Cr puis y placer un point
mobile M.
Représenter la droite (OM) où O est l'origine du repère.
c. Justifier que le coefficient directeur de cette droite
représente le coût moyen par tonne.
Retrouver alors graphiquement le résultat de la ques-
tion 1. a.
d. En déplaçant le point M sur la courbe, conjecturer
graphiquement la quantité à produire pour que le coût
moyen soit minimal. Que représente alors la droite
(OM) pour la courbe 6 ?
2. Recherche du coût moyen minimal par le calcul
a. Montrer que, pour tout xe ]0;12], le coût moyen
CM (x) de fabrication de x tonnes est égal à :
x³-9x² +30x+108
CM (x)=-
3.x
b. La fonction CM est dérivable sur J0;12]. Montrer
que, pour tout xe ]0;12], on a :
CM (x)=
(x-6)(2x²+3x+18)
3.x²
c. Retrouver alors la quantité de produit à fabriquer
pour que le coût moyen soit minimal.