Un chariot de masse 200 kg se déplace à partir d'une origine O sur une voie rectiligne et horizontale. x(t) est la distance, en mètre, qui le sépare de l'origine en fonction du temps t, en seconde (t > 0). COL. D'après les lois de Newton, la fonction x vérifie 200x" + 25x' = 50 où x" est la dérivée de la fonction dérivée x' par rapport au temps t

1. Déterminer .x(0). 2. v(t) est la vitesse du chariot à l'instant t et vérifie v(t) = x'(t). a) Démontrer que x vérifie 200x"+ 25x' = 50 si, et seule- ment si, la fonction v vérifie v = -0,125v + 0,25.

b) Résoudre sur [0; +[l'équation différentielle : y=-0,125y + 0,25. c) La vitesse initiale du chariot est supposée nulle, ainsi v(0) = 0. Déterminer alors la vitesse v(t) pour tout réel t. d) Étudier la limite de ven+ et interpréter le résultat.
3. a) Démontrer alors que la fonction r est définie sur l'intervalle [0; +[par: x(t) = 2t - 16+ 16e-0,125t
b) Quelle est la distance, en m, parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? Arrondir au dixième.​