Soit une suite numérique définie par : ; Vn EN Exercices :1 1) a) Montres que : Vn € N; 0 < U₁ b) Montrez que la suite (Un)neN est décroissante. 2) On pose : V₁ = 3+2Un 4Un a) Montrez que la suite (Vn)neN est géométrique de raison U₁ = et Un+1 = 3 b) Exprimez V₁ et puis Un en fonction de n. 3) a) Montres que : Vn € N ;0 < Un+1 ≤Un b) Montrez que : Un € N ; 0 ≤ U₁ ≤²()". 4) Calculez lim Un- 1) Calculez: lim f(x) et étudiiez la branche infinie de Cr. X→+00 2U₂ 5+2U₂ Exercices :2 On considère la fonction numérique f définie sur [0,+ ∞[ par : f(x) = 22 et C, sa représentation graphique dans un repère orthonormé (0; 1; 1). 7) On considère la suite (Un)neN définie par : 2) Étudiez la dérivabilité de la fonction fà droite en 0 .et Interprétez graphiquement le résultat obtenu. 12+4 3) Montrez que: Vx € ]0; +∞[; f'(x) = 3(2+) et déduisez le tableau de variation de f sur De 4) Tracez soigneusement C 5) a) Montrez que f admet une fonction réciproque f¹ définie sur un intervalle J à déterminer. b) Tracez dans le repère (0;1;1) C¹ la courbe représentative de la fonction f-¹ 6) Montrez que: Vx € Df; f(x) < x. (Un+1 = = f(Un) U₂ = 1 ; VnE N. Vn E N b) Montrez que : Vn € N;0 ≤ Un ≤ 1 c) Montres que (Un)neN est décroissante d) Montrez que (Un)neN est convergente et déterminez sa limite.​