J’ai besoins d’aides svp pour un problème de terminale spe

Lors d'une soirée, Noah a bu à jeun une certaine quan-
tité d'alcool. On s'intéresse à son taux d'alcool dans le
sang, exprimé en g.L-¹, en fonction du temps t, exprimé
en heure.
Comme il faut un certain temps pour que le corps
absorbe l'alcool, on peut modéliser son taux d'alcool
par une fonction f définie sur [0,05 ; +∞[.
On admet que fest solution de l'équation différen-
tielle (E) : y'= -y + ke¯¹ et ƒ(0,05) = 0, où k est une
constante positive dépendant de la quantité d'alcool
absorbée et la corpulence de l'individu.

1. a. Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel
que la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(t) = ate-t
soit une solution particulière de l'équation différen-
tielle (E).

b. En déduire l'expression de f(t) en fonction de k.

2. Étudier le sens de variation de la fonction fet vérifier
qu'il ne dépend pas de k.

3. Au bout de 3 heures, Noah teste son alcoolémie et
obtient un taux d'alcool égal à 0,8 g.L-¹.
Sachant que Noah est un jeune conducteur et que,
selon la loi française, le taux d'alcool maximal autorisé
pour les jeunes conducteurs est 0,2 g L-¹, combien
de temps devra-t-il patienter pour pouvoir prendre le
volant et rentrer chez lui ?