Partie I On considère la fonction numérique $g$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par $g(x)=x^{2}-2 \ln x$ 1) Etudier le sens de variation de $g$ 2) En déduire le signe de $g(x)$ sur $] 0 ;+\infty[$ Partie II On considère la fonction numérique $f$ définie sur $] 0 ;+\infty\left[\right.$ par $f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1+\ln x}{x}$. On appelle (C\) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ (unité graphique : $2 cm$ ) 1) Déterminer la limite de $f$ en 0 . Interpréter graphiquement ce résultat. 2) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. Montrer que la droite $(\Delta)$ d'équation $y=\frac{x}{2}$ est asymptote à la courbe (C\). Déterminer la position de $(C\)$ par rapport à $(\Delta)$ sur $] 0 ;+\infty[$. Montrer que $(\Delta)$ coupe $(C\)$ en un point A que l'on précisera 3) Etudier le sens de variation de $f$. Dresser le tableau de variation de $f$ 4) Montrer qu'il existe un unique point $B$ de la courbe (C\) où la tangente (T) est parallèle à $(\Delta)$. Préciser les coordonnées du point B 5) Montrer que l'équation $f(x)=0$ a une unique solution $\alpha$. Exprimer $\ln (\alpha)$ en fonction de $\alpha$. Montrer que le coefficient directeur de la tangente à (C\) au point d'abscisse $\alpha$ est supérieur à 1 . On admettra que $0,31​