Bonjour j’aurais besoin d’aide pour cette exercice merci d’avance !
On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2020.
Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.
Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce marché.
En 2020, la société A entretient 30 % de ces ascenseurs.
On estime que chaque année :
3% des ascenseurs entretenus par A seront entretenus par B l'année suivante ;
5% des ascenseurs entretenus par B seront entretenus par A l'année suivante ;
• Les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
Soit n un entier naturel. On note an la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A et bn la proportion d'ascenseurs entretenus par la société B pendant l'année 2020 + n.
Donc a0 = 0,3 et b0 = 0,7.
1. a) Calculer a1 et b1 Interpréter les résultats.
* Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : an+1 = 0,97an + 0,05bn.
* Quelle relation existe-t-il entre an et bn ?
En déduire que, pour tout entier naturel n, an+1 = 0,92an + 0,05.
2. a) Le directeur de la société A constate que, selon cette estimation, la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmenterait au cours des années et se stabiliserait à 62,5 %.
Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes ci-après permet de calculer la première année pour laquelle cette proportion dépasse 50 %.
Algorithme 1
A <- 0,3
N <- 0
Tant que A
A <- 0,92 x A + 0,05
N <- N + 1
Fin tant que
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Algorithme 2
A <- 0,3
N <- 0
Tant que A > 0,5
A - 0,92 × A + 0,05
N<-N+1
Fin tant que
Afficher N
Algorithme 3
A <- 0,3
N <- 0
Tant que A ≤ 0,5
A <- 0,92 x A + 0,05
Fin tant que
N <- N+1
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b) Déterminer la valeur de la variable N en fin d'exécution de cet algorithme.
3. Pour tout entier naturel n, on pose un = an - 0,625.
1) Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le 1er terme u0.
b) En déduire l'expression de un puis de an en fonction de n.
so Calculer, selon cette estimation, la proportion d'ascenseurs qui sera entretenus par la société A en 2050. On donnera la réponse en pourcentage arrondi au dixième.
