Terminales
DM
Exercice 1
Une entreprise fabrique chaque jour des rouleaux de tissu en coton. La production quotidienne varie de
1 à 10 km de tissu. On note x la production quotidienne de tissu en kilomètre.
Le coût total de production, exprimé en euros, de x400-
kilomètres de tissu est donné par la fonction C. définie
pour tout x appartenant à [1; 10] par:
C(x) = 30x² - 235x + 750
---900+
On appelle coût moyen de production la fonction CM. 000-
définie sur [1;10] par :
roo
-000
500
400
300
200
100
0
C(x)
CM (x)
x
La représentation graphique de C(x) est-donnée ci-
contre.
1) Montrer que:
CM (x)
200
1100
hooo
750
X
2) Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle [1; 10] :
30(x - 5)(x + 5)
x²
C₁(x) =
3) Dresser le tableau de signes de la fonction C (x). En déduire les variations de la fonction CM-
4) Déterminer la longueur de tissu à produire pour que le coût moyen de production soit minimal.
Votre résultat est-il en accord avec la représentation graphique ? Justifier.
= 30x-235 +
18 janvier 2024
Exercice 2
La loi de Benford est largement utilisée pour détecter des fraudes fiscales. Elle repose sur la fréquence
d'apparition des différents chiffres dans les valeurs numériques. Ainsi, Benford a constaté que, dans une
liste de données statistiques, le premier chiffre non-nal-est-1 dans plus du tiers des observations. Puis le
2 est plus fréquent que le 3 etc... La probabilité d'obtenir 9 n'est que de 0,046.
De façon générale, la loi donne comme fréquence théorique p d'apparition du premier chiffre non nul a
d'un nombre: p = Log (1+¹) 1
1) En utilisant la loi de-Benford, recopier et compléter le tableau suivant afin de déterminer la
fréquence théorique d'apparition, en %, du premier chiffre non nul d'un nombre.

Premier chiffre non nul a
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Fréquence théorique p

2) On veut savoir si la loi de Benford s'applique avec certaines séquences de nombres particuliers.
Dans la liste des 2 000 premières puissances de 2, on a compté le nombre de fois où chaque
chiffre apparaît en premier:

Premier chiffre
123456789


Nombre d'apparitions 602 354 248 194 160 134 114 105 89
Est-ce que cette distribution des chiffres est compatible avec la loi de Benford ?