Un exploitant agricole dispose d'une parcelle de forme trapézoïdale.
Dans cette parcelle, il souhaite délimiter une zone rectangulaire.
On modélise la parcelle par un trapèze rectangle ABCD avec AB = 60 m, CD = 20 m et AD = 40 m.
On considère un point M mobile sur le segment [AD] et on construit le rectangle AMNP inscrit dans le
trapèze ABCD, comme l'indique la figure ci-dessous.
On note x la longueur AM.
1. À quel intervalle la variable x appartient-elle ? On note I cet intervalle dans la suite.
2. a. On admet que le triangle BNP est rectangle isocèle en P. Exprimer la longueur AP en fonction de x.
b. On note A la fonction qui à x associe l'aire du rectangle AMNP.
Montrer que l'aire du rectangle APNM est égale à A(x) = -x² + 60x (forme 1).
c. Justifier, à l'aide d'un développement, que pour tout réel x E I, on a :
A(x) = 900-(x-30)² (forme 2).
3. Dans cette partie, on souhaite déterminer s'il existe une position de M pour laquelle l'aire de la surface colorée est égale à 800 m².
a. Montrer que le problème revient à résoudre l'équation 100-(x-30)² = 0.
b. Résoudre cette équation à l'aide d'une factorisation puis conclure.
4.Dans cette partie, on souhaite déterminer s’il existe une position de M pour laquelle l’aire de la surface colorée est égale à celle du triangle PBN
a.Montrer que le problème revient à résoudre l’équation -3/2x^2+60x=0.
b.Résoudre cette équation à l’aide d’une factorisation puis conclure.
5. a. Justifier que, pour tout x E I, on a A(x) ≤ 900.
b. Préciser la valeur de x pour laquelle A(x) = 900.
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