On considère la fonction f définie sur R par : f(x)=1/2x²-x+3/2.
Soit a un réel positif. On définit la suite (un) par u0=a et, pour tout entier naturel n: Un+1=f(un).

Le but de cet exercice est d'étudier le comportement de la suite (u,) lorsque n tend vers +∞, suivant différentes valeurs de son premier terme u0=a.

1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le comportement de la suite (un) lorsque n tend vers +∞, pour a=2,9 puis pour a=3,1.

2. Dans cette question, on suppose que la suite (un) converge vers un réel L.

2.a. En remarquant que un+1 = 1/2un²-un+3/2, montrer que L=1/2L²-L+3/2.

2.b. Montrer que les valeurs possibles de L sont 1 et 3.

3. Dans cette question, on prend a=2,9.

3.a. Montrer que f est croissante sur l'intervalle [1;+00[

3.b. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a: 1 =< un+1 =< un.

3.c. Montrer que (un) converge et déterminer sa limite.

4. Dans cette question, on prend a=3,1, et on admet que la suite (un) est croissante.

4.a. À l'aide des questions précédentes montrer que la suite (un) n'est pas convergente.

4.b. En déduire le comportement de la suite (un) lorsque tend vers +00.

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