Lycée Alexandre Ribot
Exercice
DEVOIR NON SURVEILLE N°7
Dans la figure ci-contre, ABCD est un carré dont un côté
ayant pour mesure 8cm.
On place un point M quelconque sur le segment [AB]
On place les points E et G sur la diagonale (8D] tels que:
AMEF est un rectangle;
- BMG est rectangle isocèle en G.
On pose AM = x
La figure dynamique est disponible en ligne à l'adresse
suivante :
https://www.geogebra.org/m/M2h0YWQ4
L'objectif de l'exercice est de déterminer, graphiquement puis par le calcul:
• la valeur de x telle que l'aire de AMEF soit maximale
• la valeur de x telle que l'aire de AMEF soit égale à l'aire de BMG
2 2023/2024
AB-BC-CD-DA-
1) Sur quel intervalle / le réel x varie-t-il?
2)
a. Quelle est la nature du triangle DEF? Justifier à l'aide des données de l'énoncé
b. En déduire la longueur AF en fonction de x.
c. En déduire que l'aire du rectangle AMEF est donnée par la fonction / définie sur I par:
f(x) = -x² + 8x.
3) Démontrer que l'aire du triangle BMG est donnée par la fonction g définie sur I par :
9(x) = ¹
4) A l'aide de la calculatrice, représen graphiquement les 2 fonctions fet g sur 1.
a. Préciser les valeurs utilisées pour le réglage de la fenêtre graphique (Xmax Ymin-max)
b. Dessiner, à main levée, r'allure des courbes représentatives des fonctions /et g
visualisées sur la calculatrice dans cette fenêtre graphique
c. En expliquant la démarche effectuée sur la calculatrice, donner, par lecture graphique, le
maximum de f sur I et la valeur en laquelle il est atteint
Donner une interprétation géométrique de ce résultat.
d. En expliquant la démarche effectuée sur la calculatrice, donner, par lecture graphique, les
solutions de f(x) = g(x).
Donner une interprétation géométrique de ces solutions.
b. Résoudre (8-x)(5x-8)=0
Interpréter géométriquement cette résolution.
5) a. Exprimer f(x)-g(x) en fonction de x et montrer que, pour tous réels x
appartenant à l'intervalle I. f(x)-g(x)=! Sa
6) a. Montrer que, pour tous réels x appartenant à l'intervalle 1, f(x) = -(x-4)³ +16.
b. Justifier alors que 16 est la plus grande image possible atteinte par la fonction
et déterminer en quelle valeur de x cette image est atteinte
c. Que signifie ce résultat pour le rectangle AMEF