Exercice 2
On considère deux urnes U₁ et U₂.
L'urne U, contient 17 boules blanches et 3 boules noires indiscernables au toucher.
L'urne U₂ contient 1 boule blanche et 19 boules noires indiscernables au toucher.
On réalise des tirages en procédant de la manière suivante :
.
.
Étape 0: On tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁.
Étapen (n entier naturel non nul):
5.
.
▸
Si la boule tirée à l'étape n
couleur et on la remet dans U₁.
-
1 est blanche, on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa
Si la boule tirée à l'étape n
on la remet dans U₂.
1 est noire, on tire au hasard une boule dans U₂, on note sa couleur et
Soit n un entier naturel. On note A, l'évènement « le tirage a lieu dans l'urne U, à l'étape n » et p,, sa probabilité. On a
donc po = 1.
1. Calculer P₁.
2.
Montrer que pour tout n E N, Pn+1 = 0,8p, + 0,05.
On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
3.
Soit (un) la suite définie par u, PR -0,25 pour tout un entier naturel n.
Exprimer un+1 en fonction de u,.
4. Lire le paragraphe 3 A pages 23 et 24 du livre.
a. Pourquoi la suite (u).
est-elle une suite géométrique ?
REN
Donner le premier terme uo et la raison q de cette suite géométrique.
b. Exprimeru, en fonction de n.
(P₁) REN
a. En déduire l'expression de p, en fonction de n.
b. Conjecturer vers quel nombre converge la suite (Pn)