Bonjour pouvez vous m’aider notamment à partir de la question 4A jusqu’à la fin merci beaucoup ( c’est un DM)
La bonne martingale?
Au casino, Jamila joue à un jeu à quitte ou double c'est-à-
dire que si elle joue x€, son gain algébrique est de - € si
elle perd, et de 2 x x - x= xe si elle gagne.
La probabilité de gagner à ce jeu est 0,49.
Elle adopte alors la stratégie consistant à miseret:
si elle gagne, elle quitte le casino;
. si elle perd, elle rejoue en misant le double de ce qu'elle
avait misé la fois précédente.
Jamila joue avec une 1e mise de 1 000 €.
A Loi géométrique
1. a) Quelle est la probabilité que Jamila quitte le casino
après une partie ?
b) Même question pour deux parties, pour trois parties puis
pour k parties aveck EN*.
c) En déduire, pour kEN*, la probabilité p(X= k) où X est
la variable aléatoire donnant le nombre de parties jouées
avant de gagner.
Remarque Cette variable aléatoire X suit la loi géométrique
de paramètrep=0,49.
2. a) Quel sera son gain algébrique si elle gagne à la pre-
mière partie ?
b) Méme question pour les deuxième puis troisième parties.
c) Que peut-on conjecturer sur le gain algébrique quand
on gagne à la k-ième partie?
3. On considère la suite (u) donnant la somme d'argent
misée à la n-ième partie pour n EN.
a) Exprimeru, en fonction de n.
b) En déduire le total des sommes misées entre la 1re et la
n-ième partie. Démontrer la conjecture faite en 2. c).
4. On considère la variable aléatoire G donnant le gain
algébrique réalisé à ce jeu.
a) Donner la loi de probabilité de G.
b) En quoi cela paraît-il paradoxal? Expliquer pourquoi ça
ne l'est pas réellement (on pourra se demander combien
d'argent Jamila aura dépensé au bout de 10 parties).
B► Loi géométrique tronquée
1. Jamila dispose de 15 000 € pour jouer. Après combien
de parties perdues sera-t-elle contrainte d'arrêter de jouer?
2. a) Recopier et compléter l'arbre pondéré représentant
la situation
b) En déduire la loi
de la variable aléatoire Y donnant le nombre de parties
jouées avant de gagner et où l'on décide par convention
de considérer que Y = 0 si Jamila ne gagne pas.
Remarque Cette variable aléatoire Y suit la loi géométrique
tronquée de paramètres n = 4 et p=0,49.
0,51
34)
c) Déterminer la loi de la variable aléatoire G' donnant le
gain algébrique réalisé à ce jeu puis calculer E(G').
3. Reprendre les questions 1., 2. b) c) dans le cas où Jamila
mise 100 € plutôt que 1 000 € au départ.
4. Discuter des deux stratégies (mise de départ de 1 000
ou 100 €).