Exercice 1
Soit ABCD un rectangle et x un nombre réel tel que AD = 2x + 4 et AB = −
1
2
x + 2.
A B
D C
2x + 4
−
1
2
x + 2
L’objectif de cet exercice est de déterminer dans un premier temps les valeurs de x pour lesquelles le rectangle ABCD
existe et dans un deuxième temps de déterminer la valeur de x pour laquelle ce rectangle a une aire maximale.
1) Pour x = 2, calculer les distances AD et AB, puis l’aire du rectangle ABCD.
2) Si x = −3, le rectangle ABCD existe-t-il ? Justifier.
3) a. Résoudre l’inéquation 2x + 4 ⩾ 0.
b. Résoudre l’inéquation −
1
2
x + 2 ⩾ 0.
c. En déduire les valeurs de x pour lesquelles le rectangle ABCD « existe ».
Dans la suite de l’exercice, on travaille avec x ∈ [−2; 4].
4) a. Démontrer que l’aire du rectangle ABCD est égale à A(x) = −x
2 + 2x + 8.
b. Calculer A(−1). Interpréter le résultat obtenu.
5) a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant. Aucune justification n’est attendue.
x −2 −1, 5 −1 −0, 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
A(x)
b. Dans un repère orthogonal (2cm pour une unité en abscisse et 1 cm pour une unité en ordonnée), construire
le plus soigneusement possible la représentation graphique de la fonction A.
c. Pour quelle valeur de x l’aire du rectangle ABCD semble être la plus grande ? Combien vaut alors cette
aire ?
6) a. Démontrer que l’aire du rectangle ABCD est aussi égale à A(x) = 9 − (x − 1)2
.
b. A l’aide de la question précédente, retrouver le maximum de la fonction A et le nombre en lequel il est
atteint. Justifier