Loic dispose d'un stock de petits carrés en bois dont il se sert pour représenter différentes figures geométriques Tous les carrés sont de côté 1 cm. Aujourd'hui il décide de représenter des carrés. Pour cela il commence par placer un carré blanc, qu'il entoure de carrés colorés. Ensuite il décide d'augmenter progressivement la taille du carre central, tout en continuant de l'entourer de carrés colorés. On représente les deux premières étapes ci-dessous. Etape 1 Etape 2 On s'intéresse au nombre de carrés colorés nécessaire à la construction. Pour tout ne N*, on note cin) le nombre de carrès colorés nécessaires pour entourer le carré central à l'étape n.
Partie 1 Mise en place d'une suite
1. Donner c(1) et c(2).
2. a Faire un schéma du motif à la troisième étape.
b En déduire c(3).
3. a Expliquer, à l'aide d'une phrase, comment calculer le nombre de carrés colorés entourant le carré central à n'importe quelle étape.
b. En déduire l'expression, pour tout ne N*, de c(n) en fonction de n. Quelle est la nature de la suite c ? Préciser son premier terme et sa raison.
Partie 2 Exploitation de la forme explicite 1. Quel est le plus petit entier naturel > 1, tel que c(n) > 45 ? 2. Est-il possible d'obtenir des bordures composées de: 100 carrés ? b. 110 carrés ? < 120 carrés ? 3. Quelle condition doit être respectée par le nombre de carrés en bordure? 4. Peut-on trouver une valeur de n telle que, lorsque l'on double le côté du carré central, on double aussi le nombre de carrés colorés ? Remarques On pourra penser à factoriser l'expression trouvée à la Partie 1​