On considère le triangle ABC dans un repère (0; i,j) . Le point C a pour coordonnées (2,5; -4).
Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe une fonction polynôme du troisième degré dont la courbe passe par les points A et B et dont les tangentes en A et en B sont respectivement les droites (AB) et (BC).
1. Soit f(x) = ax + bx° + cx + d une telle fonction, avec a, b, c et d quatre réels et a * 0.
B
a. Exprimer en fonction de a, b, c et d les images f(1) et
f(3).
b. À l'aide du graphique, en déduire deux équations C
d'inconnues a, b, c et d.
2. a. Déterminer la fonction dérivée de fet exprimer f'(1) et f'(3) en fonction de a, b et c.
b. Déterminer graphiquement les nombres f'(1) et f'(3). En déduire deux nouvelles équations d'inconnues a, b,c et d.
3. Résoudre à la calculatrice le système de quatre équations à quatre inconnues obtenu aux questions précédentes.
4. En déduire l'expression de la fonction polynôme du troisième degré vérifiant les conditions données.
5. A la calculatrice, tracer la courbe puis ses tangentes aux points A et B et vérifier la cohérence de la solution.